Il nostro universo potrebbe essere "solo" una brana di uno spazio super! Un supercomputer ha mostrato nel 2016 un modello di buco nero in 5 dimensioni, alle superstringhe occorrono 10 dimensioni e 11 per la supergravità, nella teoria bosonica ci si amplia a dimensione 26. Noi matematici non possiamo mostrarvi quante dimensioni ha l'universo, ma qui su Maddmaths!, Nicola Ciccoli può condurvi almeno in dimensione 14!


“Gli animali si dividono in: a) appartenenti all’Imperatore; b) imbalsamati; c) addomesticati; d) maialini da latte; e) sirene; f) favolosi; g) cani in libertà; h) inclusi nella presente classificazione; i) che si agitano follemente; j) innumerevoli; k) disegnati con un pennello finissimo di peli di cammello; l) eccetera; m) che hanno rotto il vaso; n) che da lontano sembrano mosche” (J.L. Borges, Altre inquisizioni)

Questa fantastica classificazione che Borges attribuisce a una Enciclopedia Cinese ci ricorda che classificare un insieme, per quanto omogeneo, di oggetti è un difficile esercizio. Se la classificazione del mondo reale appare come un tentativo insensato di ordinare l’infinito possibile, quella degli oggetti matematici sembra almeno in linea di principio realizzabile.

Per secoli, ad esempio, la classificazione delle possibili simmetrie ha attratto artisti e naturalisti. Dalla classificazione delle conchiglie a quella dei fregi che decorano le moschee islamiche a quella dei cristalli; un susseguirsi di tentativi per mettere ordine in materie tanto distanti e che lentamente ha rivelato un sostrato comune. Non a caso si parla di gruppi della carta da parati e gruppi cristallografici per parlare della classificazioni dei sottogruppi discreti dei gruppi di isometrie, e non a caso alcuni di tali risultati sono attribuiti al minerologo Fedorov.

Quando a seguito del lavoro di Lie, a metà dell’800, fu chiaro che il concetto matematico di gruppo e quello di simmetria erano intrinsecamente legati, iniziò un alacre lavoro per classificare tutti i possibili gruppi, tutte le possibili simmetrie.

All’interno di questi lavori di classificazione, quello dei gruppi di Lie semplici, una particolare sottoclasse di simmetrie continue, ha rappresentato forse uno dei successi più spettacolari. Un elenco preciso di tutte le simmetrie di questo tipo e una serie di strumenti tecnici atte a riconoscerle, sviluppate nell’arco di una generazione di matematici: dal tedesco Killing nel 1890, al francese E. Cartan negli anni ‘20, al russo Dynkin nel 1945.

Come nella classificazione degli animali citata da Borges, però, le cose sono andate in maniera leggermente inaspettata. A fianco di quattro grandi famiglie di simmetrie continue presenti in ciascuna dimensione, convenzionalmente indicate con A, B, C, D, esistono cinque casi eccezionali, isolati, non riconducibili ad altro e autosufficienti. Il più piccolo di questi, il gruppo di Lie G2, in dimensione 14.

Eccola, dunque, la dimensione 14, fare improvvisamente e inaspettatamente ingresso su di un palcoscenico riservato. Cos’ha di speciale questa dimensione? Perché proprio in dimensione 14 si realizza la prima delle simmetrie semplici eccezionali? Difficile a dirsi.

Certamente esistono problemi meccanici (lo studio delle posizioni di due sfere che rotolano una sull’altra senza scivolare, con i loro raggi in rapporto di 3 a 1, bizzarro? Forse no) in cui questo gruppo appare naturalmente e forse sembrerà sufficientemente esotico sapere che la simmetria G2 gioca un ruolo nella teoria della supergravità in teoria delle stringhe. Certo è che questa isolata eccezionalità ci interroga. Forse non esiste una risposta univoca alla domanda su cosa abbia di speciale la dimensione 14.

Si tratta, infatti, solo di un esempio di una serie di casi speciali matematici che farebbe la felicità di un compilatore di bestiari medioevali. Come mai l’unica struttura differenziabile esotica compare in dimensione 4, come dimostrato da Freedman e Kirby nel 1982? Perché le uniche sfere parallelizzabili hanno dimensione 1, 3 e 7, come visto da Bott, Kervaire e Milnor nel 1958? Perché esistono proprio 26 gruppi sporadici semplici e come mai il più grande di loro, detto il mostro ha un numero di elementi a 53 cifre? Come mai anche laddove classificare una famiglia di oggetti matematici si dimostra un compito possibile emerge sempre l’eccezione, il caso inaspettatamente bizzarro e irriducibile, la deviazione dalla norma?

Sia che crediate che la matematica sia lo specchio platonico della mente perfetta di Dio, sia che crediate che sia il riflesso astratto del modo di ragionare del cervello di un uomo, anche dietro l’insieme più semplice possibile di regole definite, si nasconde una complessità inaspettata. I casi eccezionali stanno là a ricordarci che il compito di classificare regole matematiche apparentemente essenziali sembra nascondere la stessa irriducibile eccezionalità del tentativo di catalogare la sterminata vastità del cosmo.

Nicola Ciccoli

Pubblicato sotto Licenza Creative Commons
Attribuzione - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/

this site uses the awesome footnotes Plugin