In matematica bisogna distinguere in maniera chiara tra articoli che presentano errori di tipo matematico sfuggiti alla peer review (e può succedere!) da articoli che sono invece frutto di comportamenti quanto meno poco attenti da parte del comitato editoriale della rivista o truffaldini da parte degli autori e che possono essere a tutti gli effetti chiamati “fake papers”. In questa rubrica ci vogliamo occupare di questi ultimi e, in particolare, di quelli che non risultano ritirati, descrivendo il problema di cui un fake paper si occupa - spesso problemi molto famosi. Ogni segnalazione di fake papers da parte dei lettori è benvenuta.

di Claudio Bonanno

<<La volontà di proteggere la sua memoria dal rischio del ridicolo mi obbliga ad affermare, in modo assolutamente inequivocabile, che la risposta ufficiale deve essere "no".>> Con queste secche affermazioni si conclude la vicenda matematica dello zio Petros narrata in un famoso libro di qualche anno fa. Possiamo dare la stessa risposta inequivocabile anche alla domanda se la Prof.ssa Malvina Baica abbia dimostrato la Congettura di Goldbach nell'articolo pubblicato sulla rivista Italian Journal of Pure and Applied Mathematics nel 2001 [1 ]Malvina Baica, Solution of Goldbach's conjecture, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 9 (2001), pag. 187-200?

In questo numero, grazie al prezioso aiuto di Alessandro Zaccagnini, parliamo quindi di un'altra delle famose congetture della Teoria dei Numeri, la "Congettura di Goldbach". La congettura ha una data di nascita precisa, il 7 giugno del 1742, giorno in cui Christian Goldbach, membro dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, scrisse in una lettera ad Eulero che "sembra che ogni numero naturale più grande di 2 sia la somma di tre numeri primi". Al tempo della lettera il numero 1 era considerato primo, ai giorni nostri Goldbach avrebbe invece scritto che ogni numero naturale maggiore di 5 sembra si possa scrivere come la somma di tre numeri primi. Eulero si interessò al problema e lo riformulò in maniera equivalente congetturando, usando la terminologia moderna, che

"ogni numero naturale pari maggiore di 2 si scrive come la somma di due numeri primi"

Dimostrazione dell'equivalenza (clicca per saperne di più)

Supponiamo che sia vera la congettura nella forma di Eulero. Se n è un numero pari maggiore di 5, allora n-2 si scrive come somma di due primi, n-2=p_1+p_2, e quindi n = 2 + p_1 + p_2. Quindi n si scrive come somma di tre primi. Se n è un numero dispari maggiore di 5, allora n-3 si scrive come somma di due primi, n-3=p_1+p_2, e quindi n = 3 + p_1 + p_2. Quindi n si scrive come somma di tre primi.

Supponiamo che sia vera la congettura nella forma di Goldbach. Sia n un numero pari maggiore o uguale a 4, allora n+2 è un numero maggiore di 5 e quindi si scrive come somma di tre primi, n+2= p_1+p_2+p_3. Inoltre n+2 è pari, e quindi uno tra p_1,p_2 e p_3 deve essere uguale a 2. Ne segue che n si scrive come somma degli altri due primi.

La congettura nella formulazione di Eulero è oggi nota come Congettura di Goldbach Forte (o Binaria), in contrapposizione alla Congettura di Goldbach Debole (o Ternaria) che afferma che "ogni numero dispari maggiore di 5 si scrive come la somma di tre primi". La congettura forte implica quella debole, ma non vale il viceversa, e gli esperti del settore sono convinti che la forma forte sia estremamente più difficile da dimostrare della forma debole!

Per quasi due secoli non si registrarono passi in avanti nella dimostrazione della Congettura di Goldbach, in una qualunque forma, finché nel 1937 Ivan Matveevich Vinogradov dimostrò che esiste una costante C per cui la forma debole della congettura è vera per ogni numero dispari maggiore di C. Dal punto di vista formale il risultato di Vinogradov è soddisfacente, per assicurare la veridicità della Congettura di Goldbach Debole basta avere un valore per la costante C e verificare la congettura per i numeri minori di questo valore. E in effetti, studi successivi dello stesso Vinogradov e di altri matematici si occuparono di trovare un valore per C. Il valore più piccolo che si è riusciti a trovare, seguendo il metodo della dimostrazione originale di Vinogradov, risale al 2002, ma purtroppo è C = 2 \cdot 10^{1346}, un valore troppo grande perché un computer possa verificare la veridicità della Congettura di Goldbach Debole per tutti i numeri dispari minori di C in un tempo inferiore all'età dell'universo (le stime ci dicono che l'universo dovrebbe avere meno di 5\cdot 10^{17} secondi). Oggi però possiamo essere ragionevolmente sicuri che la Congettura di Goldbach Debole è vera! Nel 2013 infatti il Prof. Harald Helfgott ha caricato online la prima versione di un suo articolo, in cui introducendo nuove tecniche sulle basi del lavoro di Vinogradov è riuscito ad abbassare il valore di C, fino ad avere C=10^{27}, e la verifica della congettura fino a 10^{27} è stata eseguita numericamente. La dimostrazione del Prof. Helfgott è disponibile online qui, e anche se non è ancora stata pubblicata (nel momento in cui scrivo questa rubrica) la sua correttezza non è messa in dubbio dagli esperti del settore.

Ad oggi non si ha invece una dimostrazione della Congettura di Goldbach Forte, e il risultato che più si avvicina risale di nuovo al 1937, anno d'oro per le congetture di Goldbach, e afferma che la congettura è vera per "quasi" ogni numero pari maggiore di 2, in particolare per un sottoinsieme dei naturali di "densità" 1 nei pari. Numericamente invece la congettura è stata provata essere vera per tutti i numeri pari minori di una costante dell'ordine di 10^{18}.

Definizione di densità (clicca per saperne di più)

La densità di un sottoinsieme dei numeri naturali è un modo di rispondere alla domanda "quanti sono i numeri di un sottoinsieme infinito dei numeri naturali?", ovviamente dimenticando la Teoria della Cardinalità degli insiemi infiniti di Cantor.

Prendiamo i numeri pari, in maniera intuitiva si potrebbe pensare che siano la metà dei numeri naturali, e lo stesso vale per i numeri dispari. Questo perché se consideriamo l'insieme dei numeri naturali minori di un valore fissato N, allora i numeri pari nell'insieme saranno circa \frac N2 e lo stesso vale per i dispari (il "circa" tiene ovviamente conto della differenza nel risultato che dipende dalla parità di N).

La densità è un modo di estendere questo ragionamento all'intero insieme dei numeri naturali, guardando al comportamento per N\to \infty. Sia E\subseteq \mathbb{N}, si definisce densità di E il seguente limite, se esiste,

\lim_{N\to \infty}\, \frac{\# (E \cap [1,N])}{N}

dove \# (E \cap [1,N]) indica la cardinalità dell'insieme E \cap [1,N], quindi la quantità di numeri naturali tra 1 e N che appartengono ad E.

La densità dei numeri pari è dunque uguale a \frac 12, e così per i numeri dispari. Esempi di insiemi di densità nulla sono l'insieme delle potenze di un numero fissato, ad esempio \{ 2^k\}_{k\ge 0}, e l'insieme dei numeri primi, come si ottiene dal Teorema dei Numeri Primi.

Veniamo all'articolo della Prof.ssa Baica. L'approccio alla congettura è inizialmente identico a quello di Vinogradov per la congettura debole. Sia f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} una funzione a valori non-negativi, per cui f(m) \not= 0 se e solo se m è un numero primo. Consideriamo per ogni numero naturale n pari maggiore di 2 l'espressione

\nu(n):= \sum_{m_1+m_2=n}\, f(m_1)\, f(m_2)


ossia la somma dei termini f(m_1)\, f(m_2) per tutte le coppie (m_1,m_2) di numeri naturali la cui somma sia uguale a n. Vista la proprietà della funzione f di non annullarsi soltanto sui numeri primi, la Congettura di Goldbach Forte è equivalente alla proprietà che \nu(n) >0 per ogni numero naturale pari n.

Bisogna quindi trovare un modo di studiare la funzione \nu(n) per una scelta della funzione f. L'approccio di Vinogradov, che risale in realtà ad Hardy e Littlewood, ed è noto con il nome di "metodo del cerchio", consiste nell'utilizzo dell'analisi di Fourier per funzioni definite su \mathbb{N}. Data una funzione f:\mathbb{N} \to \mathbb{C} che tende a zero abbastanza velocemente per m\to \infty, è possibile definire

\widehat{f} (\alpha) := \sum_{m\in \mathbb{N}}\, f(m)\, e^{-2\pi i \alpha m} \qquad \text{per ogni }\,\alpha\in [0,1]


e naturalmente \widehat{f}(0)=\widehat{f}(1) = \sum_m\, f(m), quindi \widehat{f} si può estendere a una funzione su \mathbb{R} periodica di periodo 1. Vale inoltre un teorema di inversione, per cui

f(m) = \int_0^1\, \widehat{f}(\alpha)\, e^{2\pi i \alpha m}\, d\alpha \qquad \text{per ogni }\, m\in \mathbb{N}\, .


Un'altra proprietà che si ottiene, in analogia alla trasformata di Fourier per funzioni definite su \mathbb{R}, è che c'è un legame con la convoluzione di due funzioni. La convoluzione di due funzioni f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{C} si definisce come

(f\star g) (m) := \sum_{m_1+m_2=n}\, f(m_1)\, g(m_2)


e si ha

\widehat{f\star g} (\alpha) = \widehat{f}(\alpha)\, \widehat{g} (\alpha)\, .


Fissata quindi una funzione f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} a valori non-negativi, per cui f(m) \not= 0 se e solo se m è un numero primo, e che tende a zero abbastanza velocemente per m\to \infty, la funzione \nu soddisfa

\nu(n) = (f\star f)(n)


e quindi

\nu(n) = \int_0^1\, \widehat{\nu}(\alpha)\, e^{2\pi i \alpha n}\, d\alpha = \int_0^1\, ( \widehat{f}(\alpha) )^2\, e^{2\pi i \alpha n}\, d\alpha\, .


Il "metodo del cerchio" consiste nello studiare il valore di ( \widehat{f}(\alpha) )^2\, e^{2\pi i \alpha n} al variare di \alpha, con lo scopo di dimostrare che il suo integrale non è nullo per tutti i numeri pari n.

Nell'applicazione alla Congettura di Goldbach una scelta "tradizionale", quella di Hardy e Littlewood, per la funzione f è f(m) = (\log m)\, e^{-\frac m k} per m numero primo, dove k è una costante. Nell'articolo della Prof.ssa Baica l'approccio alla congettura parte dallo studio della funzione \nu(n) per f(m) = \log m se m è un numero primo, e f(m)=0 altrimenti. Ma invece di usare l'analisi di Fourier, usa l'analisi di Laplace dei \nu, ossia introduce per una funzione f:\mathbb{N} \to \mathbb{C} le quantità

(L f)(s) : = \frac{1-e^{-s}}{s}\, \sum_{m\in \mathbb{N}}\, f(m)\, e^{-m\, s}


che sono ben definite per funzioni f che non divergono troppo velocemente. Utilizzando poi relazioni tra la funzione Lf e la convoluzione di due funzioni definite su \mathbb{N}, analoghe a quelle valide nel caso di Fourier, si arriva alla necessità di studiare il comportamento di una funzione del tipo

F(k) = \sum_{p \, \text{primo}}\, (\log p) \, e^{-kp}


dove la somma è fatta solo sui numeri primi, e più in generale si considera la funzione definita su numeri complessi ponendo z=e^{-k}.

Prima di entrare nei dettagli dell'articolo della Prof.ssa Baica, si può osservare che non sembrano esserci sostanziali novità nel suo approccio da far sperare che in poche pagine lei sia riuscita dove nessuno sperava di poter riuscire. Rimane però sempre il beneficio del dubbio, dopotutto per molti anni si è ritenuto impossibile dimostrare il Teorema dei Numeri Primi senza l'utilizzo dell'Analisi Complessa, dunque con un approccio che non utilizzasse la funzione Zeta di Riemann. Ci riuscirono invece, separatamente ma quasi nello stesso momento, Atle Selberg e Paul Erdös. I benefici del dubbio nel caso in questione si dissipano però entrando nel merito dell'articolo. Ci sono molte imprecisioni, alcune abbastanza gravi da compromettere la comprensione del ragionamento matematico, ma ci sono anche almeno un paio di problemi sostanziali.

Il primo problema che salta all'occhio è un errore nella formulazione della funzione \nu in termini della funzione di Chebishev \theta(n) := \sum_{p\le n}\, \log p, con la somma fatta sui numeri primi minori o uguali a n. Il secondo problema mette invece in risalto quella che probabilmente è la debolezza maggiore dell'articolo. Una volta che si è arrivati a dover studiare la funzione F, una delle proprietà importanti da analizzare è il comportamento della funzione nell'intorno delle sue singolarità. Le singolarità della funzione F sono state molto studiate, e corrispondono ai valori di k per cui z=e^{-k} è una radice dell'unità. Le singolarità sono quindi della forma z=e^{2\pi i \frac hq}, con q intero positivo e h=0,\dots,q-1 con MCD(h,q)=1. Il problema dell'articolo in questione è che si prende per buono uno sviluppo asintotico della funzione F nell'intorno delle sue singolarità senza giustificarlo. In particolare, al crescere di q si ottiene un numero sempre più grande di singolarità corrispondenti, ed è quindi necessario un certo livello di uniformità per tenere sotto controllo i termini d'errore che risultano nell'approssimare F con un suo sviluppo. Di questo non si trova traccia nell'articolo della Prof.ssa Baica, ma non c'è da stupirsi, questo è proprio il punto chiave della dimostrazione, già individuato e non risolto da Hardy e Littlewood.

Insomma, riuscì la Prof.ssa Malvina Baica a dimostrare la Congettura di Goldbach nell'articolo pubblicato sull'Italian Journal of Pure and Applied Mathematics nel 2001? Lo studio dell'articolo ci obbliga ad affermare, in modo assolutamente inequivocabile, che la risposta deve essere "no", e dunque quell'articolo doveva essere rifiutato dalla rivista, a seguito di un'attenta opera di revisione. Nulla possiamo affermare su ulteriori tentativi della stessa Baica, prima che questi vengano sottoposti al processo di revisione tra pari che è la regola fondamentale per l'accettazione di un risultato nel nostro lavoro.

Claudio Bonanno

Bibliografia   [ + ]

1. Malvina Baica, Solution of Goldbach's conjecture, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 9 (2001), pag. 187-200
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