Inseriamo in questo post alcuni materiali complementari all'articolo dal titolo “Percorsi interdiscipinari e metodo delle differenze finite” scritto da Federico Mari e da Davide Passaro e pubblicato sul numero 4/2017 della rivista Archimede (disponibile a pagamento qui).

Nell'articolo è presentata l'idea d'introdurre le differenze finite nel triennio dei Licei attraverso, per esempio, la proposta di  un corso di approfondimento per le eccellenze.

Nel testo, dopo una brevissima disamina dei metodi alle differenze finite, sono presentati  alcuni esempi di possibili applicazioni che si prestano a lavori di approfondimento interdisciplinari.

Lo spunto di questo articolo nasce  a partire dalla tesina di maturità di uno studente di liceo scientifico, Giovanni Priolo dell’I.I.S. «Gregorio Da Catino» di Poggio Mirteto in provincia di Rieti.
Questo alunno, sotto la supervisione del suo insegnante Federico Mari, ha applicato, utilizzando il foglio di calcolo, il metodo delle differenze finite alle equazioni di Lotka-Volterra.

In generale si ritiene che, poiché le equazioni differenziali rappresentano uno strumento formidabile per modellizzare la realtà e, quindi, studiare una serie di fenomeni applicati in diverse discipline, l'introdurre alcuni rudimenti di metodi numerici possa fornire degli strumenti per far analizzare dei casi reali di cui non è disponibile la soluzione analitica o questa soluzione non sia ancora al livello delle conoscenze di uno studente di scuola superiore.

In questo post, quindi,  troverete i fogli di calcolo che implementano, utilizzando il metodo di Eulero Esplicito, una approssimazione numerica degli esempi di equazioni differenziali mostrati nell'articolo:

Un  approfondimento sul modello di Lotka-Volterra (anche con esempi dello stesso modello realizzato in MatLab/Octave) è disponibile qui.

Aggiungiamo, inoltre, in questo post una considerazione che, per motivi di spazio, non è stata inserita ma solo accennata relativa alla differenza fra soluzione approssimata e analitica.

Per esempio nel caso della crescita dei batteri, come accennato nell'articolo, potrebbe essere interessante mostrare agli studenti la differenza tra metodo numerico e quello  esatto per la popolazione di batteri al variare del \Delta t.

In questo modo agli studenti diventerà ulteriormente chiaro che metodi numerici di integrazione delle equazioni differenziali, infatti, forniscono una approssimazione della soluzione esatta e a in  ogni  step c'è una discrepanza tra il valore esatto della soluzione e quello trovato con mezzi numerici.

Per mostrare questo è possibile “pesare” tale errore in modo percentuale, in modo da avere una misura della bontà della approssimazione trovata.

A titolo di esempio nella tabella successiva in cui si riportano per ogni istante di tempo i valori della soluzione approssimata, di quella esatta e i valori delle differenze percentuali, si evince che la massima variazione percentuale nelle prime dieci ore sia dell’ordine del 1,5%.

Figura 1: grafico che mostra la crescita di una popolazione di batteri ottenuta con il foglio di testo a confronto con la soluzione analitica

 

t

approssimazione

funzione

errore percentuale

0

100

100

0

0,3

103

103,0454534

0,04412951

0,6

106,09

106,1836547

0,088278494

0,9

109,2727

109,4174284

0,132446961

1,2

112,550881

112,7496852

0,176634919

1,5

115,9274074

116,1834243

0,220842378

1,8

119,4052297

119,7217363

0,265069344

2,1

122,9873865

123,367806

0,309315828

2,4

126,6770081

127,124915

0,353581838

2,7

130,4773184

130,9964451

0,397867382

3

134,3916379

134,9858808

0,442172469

3,3

138,4233871

139,0968128

0,486497107

3,6

142,5760887

143,3329415

0,530841306

3,9

146,8533713

147,6980794

0,575205074

4,2

151,2589725

152,1961556

0,619588419

4,5

155,7967417

156,8312185

0,66399135

4,8

160,4706439

161,6074402

0,708413877

5,1

165,2847632

166,5291195

0,752856006

5,4

170,2433061

171,6006862

0,797317748

5,7

175,3506053

176,8267051

0,84179911

6

180,6111235

182,21188

0,886300102

6,3

186,0294572

187,7610579

0,930820732

6,6

191,6103409

193,4792334

0,975361009

6,9

197,3586511

199,3715533

1,019920941

7,2

203,2794106

205,4433211

1,064500537

7,5

209,377793

211,7000017

1,109099806

7,8

215,6591268

218,1472265

1,153718756

8,1

222,1289006

224,7907987

1,198357397

8,4

228,7927676

231,6366977

1,243015736

8,7

235,6565506

238,6910854

1,287693783

9

242,7262471

245,9603111

1,332391546

9,3

250,0080345

253,4509178

1,377109034

9,6

257,5082756

261,1696473

1,421846256

9,9

265,2335238

269,1234472

1,466603219

10,2

273,1905296

277,3194764

1,511379934

 

 

Davide Passaro

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